PROBLEMI DI MECCANICA DEI SISTEMI

La molecola di ossigeno ha massa m = 5.3 ∙ 10-26 kg; si può assumere una distanza fissa d = 8.45∙10-9 cm tra i due atomi. Supponiamo che una tale molecola in un gas abbia una velocità di traslazione v pari al valore medio di 500 m/s e che la sua energia cinetica rotazionale (rispetto a un asse che passa perpendicolare alla congiungente dei due atomi) sia 2/3 dell’energia cinetica traslazionale. Qual è la sua velocità angolare ?
Un’asta orizzontale omogenea e sottile di massa M = 1 kg e lunghezza L = 2 m può ruotare attorno ad un asse verticale per mezzo di un perno posto a metà dell’asta stessa. L’asta, inizialmente ferma, viene colpita da un oggetto puntiforme di massa m = 100 g, che si muove con velocità v = 2 m/s orizzontale e perpendicolare all’asta. L’urto è totalmente anelastico e l’oggetto si attacca all’asta a L/4 dal perno. In seguito all’urto l’asta si mette in rotazione eseguendo n = 3 giri completi prima di fermarsi, con decelerazione angolare costante. Calcolare la velocità angolare dell’asta subito dopo l’urto ed il lavoro fatto dalle forze di attrito dall’istante in cui l’asta si mette in rotazione all’istante di arresto.
Due pattinatrici di massa uguale m = 50 kg vanno l’una verso l’altra con velocità di intensità uguale v = 1.4 m/s e verso opposto su due corsie parallele e separate di d = 3 m. La prima regge l’estremità di un’asta lunga d, di massa trascurabile e posta perpendicolarmente alla direzione del moto, che l’altra afferra al passaggio per l’estremità opposta. Calcolare la velocità angolare delle pattinatrici dopo l’incontro e l’energia cinetica del sistema. In seguito, tirandosi lungo l’asta, le pattinatrici riducono a d’ = 1 m la distanza che le separa; qual è a questo punto la loro velocità angolare ?
Su un piano orizzontale senza attrito si trova una barra uniforme, inizialmente ferma, di massa M = 8 kg e lunghezza L = 1 m. Un oggetto puntiforme di massa m = 2 kg si muove, sul piano, con velocità v perpendicolare alla barra e di modulo v = 1 m/s. L’oggetto colpisce la barra in uno dei suoi estremi; l’urto è completamente anelastico e quindi l’oggetto, dopo l’urto, rimane attaccato alla barra. Calcolare: la velocità del centro di massa del sistema; la velocità angolare del sistema, dopo l’urto; la variazione di energia cinetica del sistema dovuta all’urto anelastico.
Una squadra metallica costituita da due bracci omogenei disposti ad angolo retto di lunghezze a = 20 cm e b = 40 cm, può ruotare in un piano verticale attorno ad un asse perpendicolare alla squadra nel vertice. Determinare l’angolo θ che il braccio più lungo forma con la verticale quando il sistema è in equilibrio.
Un disco omogeneo ha un foro circolare, come illustrato in figura. Il disco ha massa m = 2 kg e raggio R = 10 cm. Il foro circolare, di raggio r = 3 cm, ha il suo centro distante d = 6 cm dal centro del disco. Il disco ruota, sotto l’azione del momento torcente dovuto al peso ma senza attrito, attorno ad un asse orizzontale passante per il centro e perpendicolare al piano del disco. Sapendo che, quando il centro del foro si trova sulla verticale rispetto al centro del disco e sotto di esso (come in figura), la velocità angolare è ω0 = 5 rad/s, determinare il momento di inerzia del disco forato, rispetto all’asse di rotazione, e la velocità angolare massima.
Una barra orizzontale omogenea di massa M = 10 kg e lunghezza L = 2 m può ruotare, con attrito trascurabile, intorno ad un asse verticale passante per il suo centro. La barra è inizialmente ferma. Un oggetto puntiforme, di massa m = 1 kg, viene lanciato orizzontalmente e perpendicolarmente alla barra, tramite una molla. La molla, di costante elastica k = 100 N/m e massa trascurabile, è stata compressa di Δx = 10 cm. L’oggetto colpisce la barra stessa in un punto posto a distanza L/4 dall’asse di rotazione. In seguito all’urto, totalmente anelastico, la barra si mette in rotazione. Quanto tempo impiega la barra a compiere 10 rotazioni complete ?
Una barra uniforme di massa M = 20 kg e lunghezza Li = 1 m ruota attorno ad un asse perpendicolare alla barra e passante per il suo centro con velocità angolare ωi = 10 rad/s. In seguito, sotto l’azione di forze interne, la barra si contrae (mantenendo inalterata la sua massa) fino a dimezzare la sua lunghezza. Calcolare la variazione ΔK della energia cinetica della barra, al termine della contrazione.
Un disco di massa m = 2 kg colpisce con velocità vi = 3 m/s un’asta di massa M = 1 kg e lunghezza L = 4 m che giace a riposo su una lastra di ghiaccio (vedi figura, vista dall’alto). L’urto è elastico. Si trovino, dopo l’urto, la velocità vf del disco, la velocità V di traslazione del centro di massa dell’asta e la velocità angolare ω di rotazione dell’asta attorno al suo centro di massa.
Un disco uniforme di raggio r = 1 m e massa m = 4 kg ruota nel piano orizzontale attorno ad un perno verticale senza attrito passante per il centro del disco. La velocità angolare del disco è ω0= 1.8 rad/s. Per fermare il disco viene applicata ad un punto del bordo una forza, dipendente dal tempo, di modulo F = h·t con h = 0.2 N/s e la cui direzione si mantiene tangente al disco. i) Quanto tempo impiega la forza a fermare il disco ? ii) Quanto lavoro deve compiere ?