Un pendolo è costituito da un recipiente di piccole dimensioni (lo si può assumere puntiforme) e di massa iniziale m₀ attaccato ad un perno tramite un’asta di massa trascurabile e lunghezza l = 4,9 m. All’istante t = 0 il pendolo è posto in oscillazione (angoli piccoli) e, contemporaneamente, il recipiente viene riempito con del materiale, in modo che la sua massa vari nel tempo secondo la legge: m(t) = m₀e^kt . Applicando l’equazione τ= d(Iω)/dt verificare che l’angolo θ che la direzione del pendolo forma rispetto alla verticale segue l’equazione del moto oscillatorio smorzato. Per quale valore di k il sistema è in condizioni di smorzamento critico ?

L'equazione del moto è:

$-m\left(t\right)·g·\sin \theta ·l=\frac{d\left(m\left(t\right)l^2\omega \right)}{dt}=l^2\omega ·\frac{\mathrm{dm}\left(t\right)}{dt}+l^{2}m\left(t\right)·\frac{\mathrm{d\omega }}{dt}$

Sostituendo la funzione temporale della massa:

${-m}_0{e}^{\mathrm{kt}}·\frac{g}{l}·\sin \theta =\frac{\mathrm{d\theta }}{dt}·m_{0}k{e}^{\mathrm{kt}}+m_0{e}^{\mathrm{kt}}·\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$

Per piccole oscillazioni e semplificando:

$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+k·\frac{\mathrm{d\theta }}{dt}+\frac{g}{l}·\theta =0$

Si ottiene così l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico smorzato ($\stackrel{..}{\theta }+2\gamma \stackrel{.}{\theta }+{\omega }_0\theta =0$).

Lo smorzamento è crititico se ($\gamma ={\omega }_0)$:

$\frac{k}{2}=\frac{g}{l}\Rightarrow k=2·\frac{g}{l}=2·\frac{9.8}{4.9}=4$ N/m