Un corpo rigido è composto da un’asta sottile lunga L = 1 m e di massa M = 1 kg ad un estremo della quale è saldato un disco sottile di raggio R = 0.1 m e massa M (vedi figura). L’oggetto è appoggiato su un piano orizzontale liscio. L’altro estremo della barra è vincolato nel punto fisso O, in modo che la barra sia costretta a ruotare attorno ad un asse verticale passante per O. Una molla di massa trascurabile e costante elastica k = 4 N/m ha un estremo fisso e l’altro estremo unito al disco nel punto A. La molla viene allungata (di poco) e il sistema lasciato libero di oscillare. Determinare: i) il momento di inerzia dell’oggetto rispetto all’asse di rotazione; ii) il periodo T delle piccole oscillazioni. Viene aggiunta una forza di attrito tale che il periodo di oscillazione diventa T ’ = 1.1 T. iii) Quanto vale l’ampiezza di oscillazione a t = 10 s, rispetto a quella a t = 0 ?

Momento di inerzia del corpo rigido rispetto al punto O:

I O = M L 2 3 + M R 2 2 + M ( L + R ) 2 = 1 3 + 0.1 2 2 + 1.1 2 ≃ 1.55 kgm²

Momento torcente (piccole oscillazioni) : τ ≃ k · Δx · L ≃ kL · Lθ = k L 2 θ

Il Secondo Principio della Dinamica Rotazionale:

τ = I O θ . . ⇒ k L 2 θ = I O θ . .

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Da cui il periodo delle piccole oscillazioni: T 0 = 2 π · I O k L 2 ≃ 2 π · 1.55 4 ≃ 3.91 s .

Nell'oscillatore armonico smorzato : ω 2 = ω 0 2 − β 2 , con β la costante di smorzamento.

Da cui: β = ω 0 2 − ω 2 = 2 π 1 T 0 2 − 1 T 2 = 2 π · 1 T 0 2 − 1 1.1 2 · T 0 2 ≃ 2 π T 0 · 0.42 ≃ 0.67 s-1

Dalla equazione del moto θ ( t ) = θ 0 · e − βt sin { ω 0 t [ 1 − ( β ω 0 ) 2 ] 1 2 } per l'oscillatore armonico smorzato si ricava il rapporto tra le ampiezze di oscillazione:

θ max ( 10 ) θ max ( 0 ) = θ 0 · e − β · 10 θ 0 = e − 10 β ≃ e − 10 · 0.67 ≃ 0.00123