PROBLEMI SULLE OSCILLAZIONI MECCANICHE

  1. Tre palline collegate tra loro da una fune inestensibile, di massa trascurabile, e da una molla, come in figura, sono appese al soffitto tramite una fune, anch’essa di massa trascurabile ed inestensibile. Le loro masse sono: m1 = m2 = m = 500 g ed m3 = 2m. La costante elastica della molla è k = 250 N/m e la sua lunghezza a riposo è l0 = 20 cm.
    1. Determinare l’allungamento della molla nella configurazione descritta in figura.
    La cordicella tra le palline 2 e 3 viene tagliata.
    1. Determinare l’ampiezza delle oscillazioni della pallina 2 attorno alla posizione di equilibrio.
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L
  1. Una barra omogenea lunga l = 0.6 m può oscillare, soggetta al proprio peso, attorno ad un asse orizzontale che passa per un punto O, posto a metà tra l’estremo superiore della barra ed il centro C della barra stessa. Le oscillazioni avvengono senza attriti.
    1. Quanto vale il periodo delle piccole oscillazioni ?
    Si immagini adesso di potere spostare la posizione del punto O attorno al quale avvengono le oscillazioni.
    1. Qual è la distanza OC per cui il periodo delle piccole oscillazioni è minimo ?
    2. Quanto vale il periodo minimo ?
 L
  1. Un corpo rigido è composto da un’asta sottile lunga L = 1 m e di massa M = 1 kg ad un estremo della quale è saldato un disco sottile di raggio R = 0.1 m e massa M (vedi figura). L’oggetto è appoggiato su un piano orizzontale liscio. L’altro estremo della barra è vincolato nel punto fisso O, in modo che la barra sia costretta a ruotare attorno ad un asse verticale passante per O. Una molla di massa trascurabile e costante elastica k = 4 N/m ha un estremo fisso e l’altro estremo unito al disco nel punto A. La molla viene allungata (di poco) e il sistema lasciato libero di oscillare. Determinare:
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  1. il momento di inerzia dell’oggetto rispetto all’asse di rotazione;
  2. il periodo T delle piccole oscillazioni;

    Viene aggiunta una forza di attrito tale che il periodo di oscillazione diventa T ’ = 1.1 T.

  3. Quanto vale l’ampiezza di oscillazione a t = 10 s, rispetto a quella a t = 0 ?
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  1. Un pendolo è costituito da un recipiente di piccole dimensioni (lo si può assumere puntiforme) e di massa iniziale m 0 attaccato ad un perno tramite un’asta di massa trascurabile e lunghezza l = 4,9 m. All’istante t = 0 il pendolo è posto in oscillazione (angoli piccoli) e, contemporaneamente, il recipiente viene riempito con del materiale, in modo che la sua massa vari nel tempo secondo la legge: m(t) = m0ekt . Applicando l’equazione τ= d(Iω)/dt verificare che l’angolo θ che la direzione del pendolo forma rispetto alla verticale segue l’equazione del moto oscillatorio smorzato. Per quale valore di k il sistema è in condizioni di smorzamento critico ?
L
  1. Un cilindro di massa m = 4 kg e raggio R = 21 cm può ruotare senza attrito intorno ad un perno lungo il suo asse. Al perno è attaccata una molla di costante elastica k = 2,5 N/m e lunghezza a riposo l0 . L’altro estremo della molla è attaccato ad un punto fisso, come in figura. Il sistema viene messo in oscillazione, con il cilindro che rotola senza strisciare.
    1. scrivere l’equazione che esprime la conservazione della energia meccanica del sistema, in funzione della variabile x (allungamento della molla, vedi figura) e della sua derivata;
    2. derivando tale equazione rispetto al tempo, determinare il periodo T delle oscillazioni.

      Nell’istante iniziale il cilindro è fermo e la molla è dilatata di un tratto x0 = 20 cm.;

    3. quale deve essere il valore minimo del coefficiente di attrito statico μ tra cilindro e supporto perché il cilindro stesso non slitti ?
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L
h n