Un cilindro a pareti adiabatiche e munito di pistone, anch’esso isolante, è diviso in due parti uguali da un setto. Inizialmente il pistone è bloccato e la parte inferiore, di volume V₁ = 2 l, contiene 0.4 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura T₁ = 27 °C, mentre nella parte superiore vi è il vuoto. (a) Viene rimosso il setto ed il gas si espande liberamente. Determinare lo stato finale del gas (valori di pressione, volume e temperatura) e la variazione di entropia del gas. (b) Successivamente viene sbloccato il pistone e il gas viene compresso in modo reversibile fino a riportarlo al volume iniziale. Di che tipo di trasformazione si tratta ? Determinare la temperatura e la pressione del gas in questo stato e il lavoro fatto dal gas.

a) La pressione iniziale nella parte inferiore è $P_1=\frac{\mathrm{nR}{T}_1}{V_1}=\frac{0.4·8.314·\left(27+273\right)}{2·{10}^{-3}}\approx 5·{10}^5$Pa

La prima trasformazione è un'espansione libera che è un'isoterma.

Il volume raddoppia e la pressione si dimezza: $V_2=4$ l, $P_2=2.5·{10}^5$Pa.

La variazione di entropia è: $\Delta S_{12}=\mathrm{nRT}·\ln \frac{V_2}{V_1}=0.4·8.314·300·\ln 2\approx 691.5$ J/K

b) La trasformazione è una adiabatica reversibile.

La pressione si può ricavare con l'equazione delle trasformazioni adiabatiche reversibili:

$P_3{V}_3^{\gamma }=P_2{V}_2^{\gamma }\Rightarrow P_3=P_2·{\left(\frac{V_2}{V_3}\right)}^{\gamma }=2.5·{10}^5·2^{\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\approx 6.9·{10}^5$Pa

la temperatura si può ricavare con l'equazione di stato: $T_3=\frac{P_3{V}_3}{\mathrm{nR}}=\frac{6.9·{10}^5·2·{10}^{-3}}{0.4·8.314}\approx 418$ K≈145 °C

Il lavoro fatto sul gas è dato dalla formula del lavoro per le adiabatiche reversibili (opposto alla variazione di energia interna):

$W=-n{c}_v·(T_3-T_2)=-0.4·\frac{3}{2}·8.314·\left(418-300\right)\approx -588.6$ J

chiaramente negativo perchè fatto sul gas. Il lavoro fatto dal gas è positivo, ma ciò non significa che ha perso energia ma, per la convenzione sul lavoro termodinamico, in realtà ha acquistato energia (infatti la sua temperatura, e quindi la sua energia interna, è aumentata).