Una sorgente di luce si trova a 2 m dal bordo di una fontana, 100 cm sotto il pelo dell’acqua. Dal bordo della fontana un osservatore lo guarda, da un’altezza di 1.80m. Determinare l’angolo rispetto all’orizzontale sotto cui l’osservatore vede la sorgente. (Suggerimento: utilizzate la procedura usata per ottenerla legge della rifrazione dal principio di Fermat).

Posto $$\begin{cases} x=\widebar{AH} \\ h=\widebar{OA}\\ d=\widebar{AI}\\p=\widebar{SI} \end{cases}$$ il cammino ottico è:$$L=\widebar{OH}+n\cdot\widebar{SH}=\sqrt{h^2+x^2}+n\sqrt{\left(d-x\right)^2+p^2}$$ Applicando il Principio di Fermat:$$\frac{dL}{dx}=\frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}-\frac{n\left(d-x\right)}{\sqrt{\left(d-x\right)^2+p^2}}=0$$da cui:$$\frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{n\left(d-x\right)}{\sqrt{\left(d-x\right)^2+p^2}}$$elevando al quadrato ambo i membri: $$\frac{x^2}{h^2+x^2}=\frac{n^2\left(d-x\right)^2}{\left(d-x\right)^2+p^2}$$ (1)
Se si sviluppa algebricamente l'espressione (1) si ottiene un'equazione di quarto grado: $$x^2\left(d-x\right)^2+p^2x^2=n^2h^2\left(d-x\right)^2+n^2\left(d-x\right)^2x^2⇒\left(n^2-1\right)x^2\left(d-x\right)^2+n^2h^2\left(d-x\right)^2-p^2x^2=0⇒$$ $$⇒\left(n^2-1\right)x^4-2\left(n^2-1\right)d\,x^3+\left[\left(n^2-1\right)d^2+n^2h^2-p^2\right]x^2-2n^2h^2d\,x+n^2h^2d^2=0⇒$$$$⇒x^4-2d\,x^3+\left(d^2+\frac{n^2h^2-p^2}{n^2-1}\right)x^2-\frac{2n^2h^2d}{n^2-1}x+\frac{n^2h^2d^2}{n^2-1}=0$$
La soluzione può essere trovata in modo analitico con la formula di Ferrari o in modo numerico. Utilizzando il software GeoGebra per studiare la funzione data dal cammino ottico, si trova che il minimo tra x=0 m e x= 2 m è posto in x= 1.461 m. Trovata la distanza dal bordo della piscina dove emerge il raggio luminoso si ricava facilmente l'angolo di inclinazione richiesto: $$\tan\left({α}\right)=\frac{h}{x}⇒α=\arctan\left(\frac{h}{x}\right)≃\arctan\left(\frac{1.8}{1.4617}\right)≃50.92°$$