Un prisma con angolo al vertice 36° ha indice di rifrazione n=1.650 a λ656 nm e n=1.654 a λ486 nm. Un fascio parallelo di luce policromatica incide sulla prima faccia del prisma con i= 40°.
  1. Determinare la dispersione angolare media (Δθ/Δλ) all’uscita del prisma.

    Una lente di focale 100 mm è posta oltre il prisma, approssimativamente in asse con la luce uscente. Sul piano focale della lente si forma lo spettro della luce incidente.

  2. Quanto sono separati, su di esso, λ656 nm e λ486 ?


Dopo la prima rifrazione l'angolo di rifrazione è :

r=arcsin(sin(i)n)r=\arcsin\left(\frac{\sin\left(i\right)}{n}\right)
Dalla figura si vede che:

i2=180°-r-HEK^i_2=180° - r -\widehat{HEK}
e che :HEK^=180°-36°=144°\widehat{HEK}=180° - 36°= 144°
Da cui:i2=36°-ri_2=36°-r
Quindi dopo la seconda rifrazione l'angolo di rifrazione è:

r2=arcsin(n⋅sini2)r_2=\arcsin\left(n\cdot\sin\,i_2\right)
Con λ=656 nm l'angolo di rifrazione è :
r=arcsin(sin(40°)1.65)≃22.93⇒i2=36°-22.93°≃13.07°⇒r2(656)=arcsin(1.65⋅sin(13.07°))≃21.91°r=\arcsin\left(\frac{\sin\left(40°\right)}{1.65}\right)≃22.93⇒i_2=36°-22.93°≃13.07°⇒r_2\left(656\right)=\arcsin\left(1.65\cdot\sin\left(13.07°\right)\right)≃21.91\,°°θ_1=\arcsin\left[n\cdot\sin\left(36°-\arcsin\left(\frac{\sin\left(i\right)}{n}\right)\right)\right]=\arcsin\left[1.65\cdot\sin\left(36°-\arcsin\left(\frac{\sin\left(40°\right)}{1.65}\right)\right)\right]≃21.913°Con λ=486 nm l'angolo di rifrazione è:

r=arcsin(sin(40°)1.654)≃22.87°⇒i2=36°-22.87°≃13.13°⇒r2(486)=arcsin(1.654⋅sin(13.13°))≃22.07°r=\arcsin\left(\frac{\sin\left(40°\right)}{1.654}\right)≃22.87°⇒i_2=36°-22.87°≃13.13°⇒r_2(486)=\arcsin\left(1.654\cdot\sin\left(13.13°\right)\right)≃22.07\,°θ_2=\arcsin\left[n\cdot\sin\left(36°-\arcsin\left(\frac{\sin\left(i\right)}{n}\right)\right)\right]=\arcsin\left[1.654\cdot\sin\left(36°-\arcsin\left(\frac{\sin\left(40°\right)}{1.654}\right)\right)\right]≃22.071°
La separazione è: Δθ=θ2-θ1≃0.1577°Δθ=θ_2-θ_1≃0.1577°
La dispersione angolare media è:ΔθΔλ=22.071-21.913486-656≃-3.3″/nm\frac{Δθ}{Δλ}=\frac{22.071-21.913}{486-656}≃ -3.3\,''/nm
 
I raggi deviati dal prisma hanno una separazione angolare :Δθ=hopΔθ=\frac{h_o}{p}
Quando sono rifratti dalla lente, essendo parassiali, vale la relazione:

hiho=qp\frac{h_i}{h_o}=\frac{q}{p}Poichè lo spettro si forma sul piano focale della lente:

q≃fq≃f
Da cui la larghezza dello spettro:hi=hop⋅f=0.1577°π180⋅100mm≃0.28mmh_i=\frac{h_o}{p}\cdot f=\frac{0.1577°\pi}{180}\cdot 100\; mm≃ 0.28 \; mm