Attraversando un metro di spessore di un materiale, l’intensità di un fascio di luce è attenuata del 70%. Di quanto viene attenuata, attraversando uno spessore di 30 cm dello stesso materiale?

L'assorbimento della luce da parte della materia può essere descritto con il modello fenomenologico:

I=I0e-kxI=I_0 e^{-kx}

con k coefficiente di attenuazione e x  la profondità nel materiale.

L'attenuazione percentuale è :ΔI%=I-I0I0⋅100%ΔI%=\frac{I-I_0}{I_0}\cdot 100\, \%

Da cui: II0=1+ΔI%100\frac{I}{I_0}=1+\frac{ΔI\,\%}{100}

 il coefficiente di attenuazione: I0e-kxI0=1+ΔI%100⇒k=-1xln(1+ΔI%100)\frac{I_0e^{-kx}}{I_0}=1+\frac{ΔI\,\%}{100}⇒k=-\frac{1}{x}\,\ln\left({1+\frac{ΔI\,\%}{100}}\right)
Quindi, se è nota l'attenuazione ad una certa distanza x1, l'intensità ad una distanza x2 è:

I2=I0e-kx2=I0ex2x1ln(1+ΔI1%100)=I0(eln(1+ΔI1%100))x2/x1=I0(1+ΔI1%100)x2/x1I_2 = I_0 e^{-kx_2}=I_0 e^{\frac{x_2}{x_1}\ln \left( {1+\frac{ΔI_1\,\%}{100}}\right)}=I_0\left(e^{ln\left(1+\frac{ΔI_1\,\%}{100}\right)}\right)^{x_2/x_1}=I_0\left(1+\frac{ΔI_1\,\%}{100}\right)^{x_2/x_1}
L'attenuazione percentuale a 30 cm:
ΔI2%=(I2I0-1)⋅100=[(1+ΔI1%100)x2/x1-1]⋅100=[(1-70100)0.3-1]⋅100=-30.3%ΔI_2\,\%=\left(\frac{I_2}{I_0}-1\right)\cdot 100=\left[\left(1+\frac{ΔI_1\,\%}{100}\right)^{x_2/x_1}-1\right]\cdot 100=\left[\left(1-\frac{70}{100}\right)^0.3-1\right]\cdot 100=-30.3\,\%