Quanti secondi impiega una coppia di forze di momento torcente verticale τ= 5 Nm per portare da zero a 80 giri al secondo la velocità angolare di un oggetto formato da due aste uniformi uguali lunghe L = 20 cm e di massa m = 5 kg saldate ad una estremità e due masse puntiformi uguali di massa m saldate alle estremità libere delle aste (vedi figura) e distanti s = 10 cm dall’asse di rotazione verticale (tratteggiato in figura) ? Notare che le aste non sono perpendicolari all’asse di rotazione ! Quanti secondi sarebbero necessari se le due aste avessero massa trascurabile ?

Occorre calcolare il momento di inerzia di un'asta rigida che ruota inclinata attorno un asse (asse x) con un vertice vincolato nell'asse. La formula per il calcolo del momento di inerzia è: $I={\int }_{}^{}{y}^{2}dm$ Considerando la densità lineare costante : $dm=\lambda ·\mathrm{dr}=\frac{m}{L}·\mathrm{dr}$ Inoltre $\mathrm{dr}=\frac{\mathrm{dx}}{\cos \theta }$ e $y=x·\tan \theta$, da cui, sostituendo:

$I={\frac{m}{L}\int }_0^{L·\cos \theta }{x}^2·{\tan }^2\theta ·\frac{\mathrm{dx}}{\cos \theta }=\frac{m}{L}·\frac{{\tan }^2\theta }{\cos \theta }·{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{L·\cos \theta }=\frac{m{L}^2}{3}·{\sin }^2\theta$

Nel caso in esame si avrà:

$I=2m{s}^2+2·\frac{m{L}^2}{3}·{\left(\frac{s}{L}\right)}^2=\left(2+\frac{2}{3}\right)m{s}^2=\frac{8}{3}·5·{0.1}^2=\frac{2}{15}$ kgm²

Con la Seconda Legge della Dinamica Rotazionale: $\tau =I·\frac{\mathrm{\Delta \omega }}{\mathrm{\Delta t}}\Rightarrow \mathrm{\Delta t}=\frac{I·\mathrm{\Delta \omega }}{\tau }=\frac{2}{15}·\frac{2\pi ·80}{5}\simeq 13.4$ s

Se le aste hanno massa trascurabile $I=2m{s}^2=2·5·{0.1}^2=0.1$ kgm² e $\mathrm{\Delta t}=\frac{I·\mathrm{\Delta \omega }}{\tau }=0.1·\frac{2\pi ·80}{5}\simeq 10.1$ s

Ci vuole meno perchè il momento di inerzia è minore.