N°6 MECCANICA DEI SISTEMI

Un oggetto puntiforme si muove con quantità di moto p = p_ii con p_i = 100 kg∙m/s per poi esplodere, sotto l’azione di sole forze interne, in tre frammenti di masse m₁ = 1 kg, m₂ = 3 kg e m₃ = 6 kg. Il frammento 1 si muove con velocità di modulo v₁ = 37.2 m/s e la cui direzione forma, con l’asse x positivo, un angolo φ₁ = 53.75°, mentre per il frammento 2 risulta che v₂ = 12.8 m/s e φ₂ = 38.66°. Quali sono le componenti x e y della velocità del terzo frammento ?

La quantità di moto totale del sistema deve rimanere sempre 100 kg·m/s diretta lungo l'asse delle ascisse.

Il Principio di Conservazione della Q.d.M applicato al sistema in componenti cartesiane è:

${\begin{matrix} p_{i} = m_{1} v_{1} \cdot \cos φ_{1} + m_{2} v_{2} \cdot \cos φ_{2} + m_{3} \cdot v_{3 x} \\ 0 = m_{1} v_{1} \cdot \sin φ_{1} + m_{2} v_{2} \cdot \sin φ_{2} + m_{3} \cdot v_{3 y} \end{matrix}$

Da cui le velocità :

${\begin{matrix} v_{3 x} = \frac{p_{i} - m_{1} v_{1} \cdot \cos φ_{1} - m_{2} v_{2} \cdot \cos φ_{2}}{m_{3}} = \frac{100 - 1 \cdot 37.2 \cdot \cos 53.75 ° - 3 \cdot 12.8 \cdot \cos 38.66 °}{3} ≃ 16 \\ v_{3 y} = - \frac{m_{1} v_{1} \cdot \sin φ_{1} + m_{2} v_{2} \cdot \sin φ_{2}}{m_{3}} = - \frac{1 \cdot 37.2 \cdot \sin 53.75 + 3 \cdot 12.8 \cdot \sin 38.66}{3} ≃ - 13 \end{matrix}$ m/s