Una puleggia è costituita da un cilindro di raggio r1 = 5 cm e altezza h1 = 2.5 cm e da un secondo cilindro coassiale di raggio r2 = 2 cm ed altezza h2 = 3 cm, entrambi di ferro, la cui densità è ρFe = 7800 kg/m3 . La puleggia ruota, senza attrito, attorno al suo asse compiendo 450 giri/min. Calcolare:
  • Quale forza deve essere esercitata tangenzialmente al cilindro di raggio minore per fermare la puleggia in 10 s;
  • In quanto tempo si fermerebbe la puleggia se la stessa forza fosse applicata al cilindro di raggio maggiore.
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Esprimiamo la velocità angolare in unità del S.I.: ω = 450 · 2 π 60 rad/s≈47 rad/s

Per fermare la puleggia in 10 s (supponendo la forza tangenziale costante) bisogna imprimere una accelerazione angolare:

α = Δω Δt = ω f − ω i Δt = − 47 10 ≈ − 4.7 rad/s²

Per calcolare la forza occorre conoscere il momento di inerzia del corpo rigido.

La puleggia può essere considerata formata da due cilindri coassiali:

I tot = 1 2 ( m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 ) = 1 2 ρ · ( π r 1 2 · h 1 · r 1 2 + π r 2 2 · h 2 · r 2 2 ) = 1 2 πρ ( r 1 4 · h 1 + r 2 4 · h 2 ) = 1 2 · 7800 · π · ( 5 4 · 2.5 + 2 4 · 3 ) · 10 − 10 ≈ 0.002 kgm²

La forza è:

F = Iα r 2 = 0.002 · 4.7 0.02 ≈ 0.47 N

Il momento di inerzia è lo stesso:

I α 1 r 1 = I α 2 r 2 ⇒ α 1 = r 1 r 2 · α 2 ⇒ Δ t 1 = Δω α 1 = ω i α 2 · r 2 r 1 = Δ t 2 · r 2 r 1 = 10 · 2 5 = 4 s

Ci vuole di meno perchè il momento frenante è maggiore.