Una sbarra cilindrica di massa m = 1.25 kg, altezza h = 25 cm e la cui sezione circolare ha un raggio r = 2 cm, è posta verticalmente al bordo di una piattaforma circolare orizzontale, di raggio R = 25 cm e massa M = 10 kg, che sta ruotando con velocità angolare ωi = 15 rad/s (vedi figure (a) e (c)). In seguito la sbarra cade sulla piattaforma, come mostrato nelle figure (b) e (d). Quanto vale la velocità angolare finale del sistema ?

Applicazione del Principio di Conservazione del Momento Angolare.

Il momento di inerzia prima della caduta è:

$I_{\mathrm{toti}}=I_p+I_{\mathrm{bi}}=\frac{M{R}^2}{2}+\frac{m{r}^2}{2}+m{\left(R-r\right)}^2$

in questa formula è stato applicato il teorema di Steiner per ottenere il momento di inerzia della barra (trattata come un disco o cilindro) rispetto al centro di rotazione (centro della piattaforma).

Per il calcolo del momento di inerzia, dopo la caduta, la barra può essere considerata un'asta sottile (r≪h) :

$I_{\mathrm{totf}}=I_p+I_{\mathrm{bf}}=\frac{M{R}^2}{2}+\frac{m{h}^2}{12}$

In conclusione, applicando il Principio di Conservazione del Momento Angolare per i corpi rigidi, si trova:

$I_{\mathrm{toti}}·{\omega }_i=I_{\mathrm{totf}}·{\omega }_f\Rightarrow {\omega }_f={\omega }_i·\frac{I_{\mathrm{toti}}}{I_{\mathrm{totf}}}={\omega }_I·\frac{M{R}^2+m{r}^2+2m{\left(R-r\right)}^2}{M{R}^2+\raisebox{1ex}{$m{h}^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.}=15·\frac{10·{0.25}^2+1.25·{0.02}^2+2·1.25·{\left(0.23\right)}^2}{10·{0.25}^2+\raisebox{1ex}{$1.25·{0.25}^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.}\approx 17.8$ rad/s