Un’asta omogenea di massa m = 0.5 kg e lunghezza L = 1 m ha agli estremi due masse puntiformi m₁ = 0.2 kg ed m₂ = 0.3 kg. L'asta è posta in rotazione, con velocità angolare ω₀ costante, attorno ad un asse ad essa ortogonale e passante per un punto a distanza x da m₁ . L'unica sollecitazione alla quale è soggetta l’asta consiste in una coppia frenante di momento torcente costante τ. Determinare il valore di x perché l’asta si fermi nel minor tempo possibile.

L'asse di rotazione è a distanza $d=\frac{L}{2}-x$ dal centro dell'asta.

Il momento di inerzia dell'asta, rispetto l'asse di rotazione, applicando il teorema di Steiner è:

$I_a=\frac{m{L}^2}{12}+m{d}^2=\frac{m{L}^2}{12}+m{(\frac{L}{2}-x)}^2=\frac{m{L}^2}{12}+\frac{m{L}^2}{4}+m{x}^2-\mathrm{mLx}=\frac{m{L}^2}{3}-\mathrm{mL}x+m{x}^2=\frac{1}{6}-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}$ kg·m²

Il momento di inerzia totale è:

$I_{\mathrm{tot}}\left(x\right)=m_1{x}^2+m_2{\left(L-x\right)}^2+I_a=\frac{x^2}{5}+\frac{3}{10}{\left(1-x\right)}^2+\frac{1}{6}-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}$ kg·m²

Dal Secondo Principio della Dinamica Rotazionale per i corpi rigidi: $\tau =I_{\mathrm{tot}}·\frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dt}}$ si ricava $\mathrm{dt}=\frac{I_{\mathrm{tot}}}{\tau }·\mathrm{d\omega }$ che, a parità di dω e τ, è tanto più piccolo quanto più piccolo è I_tot.

Per trovare il minimo di $I_{\mathrm{tot}}\left(x\right)$ calcoliamo la derivata prima:

$\frac{d{I}_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{5}x-\frac{6}{10}\left(1-x\right)-\frac{1}{2}+x=(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+1)x-\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{10}{5}x-\frac{4}{5}=2x-\frac{4}{5}$ kg·m

Che, posta uguale a zero, fornisce il valore di x richiesto:

$2x-\frac{4}{5}=0\to x=\frac{2}{5}$ m$=0.4$ m