N°8 MECCANICA DEL PUNTO


Una piccola ruota omogenea di raggio r e massa m viene lasciata libera di cadere (rotolando, senza strisciare) dalla cima di un piano inclinato, partendo da ferma. Il piano inclinato è alto h = 40 cm ed è posto su un tavolo alto H = 90 cm rispetto al pavimento. Giunta al fondo del piano inclinato, la ruota scivola per un breve tratto senza attrito prima di arrivare al bordo del tavolo. A quale distanza orizzontale d, rispetto al bordo del tavolo, la ruota cade sul pavimento ? La distanza orizzontale d si trova se è nota la velocità iniziale v (orizzontale) con cui la ruota lascia il tavolo: $d = {v \cdot t}_{caduta} = v \cdot \sqrt{\frac{2 H}{g}}$

La velocità iniziale v si ricava applicando il Principio di Conservazione dell'Energia Meccanica nel caso moto di puro rotolamento:

$U_{i} = K_{f} \Rightarrow mgh = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} \Rightarrow mgh = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m r^{2} \cdot \frac{v^{2}}{r^{2}} = \frac{7}{10} {mv}^{2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{10}{7} gh}$

Sostituendo:

$d = v \cdot \sqrt{\frac{2 H}{g}} = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot gh} \cdot \sqrt{\frac{2 H}{g}} = \sqrt{\frac{20}{7} \cdot h \cdot H} = \sqrt{\frac{20}{7} \cdot 0.4 \cdot 0.9} ≃ 1$ m