N°7 MECCANICA DEL PUNTO


Un satellite di 11 kg viene lanciato verticalmente dalla superficie di un pianeta senza atmosfera, avente massa di 7.0∙10²³ kg e raggio di 3.0∙10⁶ m. Se il satellite è lanciato con energia cinetica iniziale di 5.0∙10⁷ J, quale sarà la sua energia cinetica quando si troverà a 4.0∙10⁶ m dal centro del pianeta ? Se il satellite deve arrivare ad una distanza massima di 8.0∙10⁶ m dal centro del pianeta, con quale velocità iniziale deve essere lanciato dalla sua superficie ?

Conservazione dell'energia meccanica:
$U_{i} + K_{i} = U_{f} + K_{f} \Rightarrow - G \frac{mM}{R_{i}} + K_{i} = - G \frac{mM}{R_{f}} + K_{f} \Rightarrow K_{f} = GmM \cdot (\frac{1}{R_{f}} - \frac{1}{R_{i}}) + K_{i} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 11 \cdot 7 \cdot 10^{23} \cdot (\frac{1}{4 \cdot 10^{6}} - \frac{1}{3 \cdot 10^{6}}) + 5 \cdot 10^{7} ≃ 7.2 \cdot 10^{6}$ J
Conservazione dell'energia meccanica:
$U_{i} + K_{i} = U_{f} + K_{f} \Rightarrow - G \frac{mM}{R_{i}} + \frac{1}{2} m v_{i}^{2} = - G \frac{mM}{R_{f}} \Rightarrow v_{i} = \sqrt{\frac{2}{m} \cdot GmM \cdot (\frac{1}{R_{i}} - \frac{1}{R_{f}}) =} \sqrt{2 \cdot 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 7 \cdot 10^{23} \cdot (\frac{1}{3 \cdot 10^{6}} - \frac{1}{4 \cdot 10^{6}})} ≃ 2790$ m/s