N°3 MECCANICA DEL PUNTO

Un punto materiale di massa m = 50 g scivola da una altezza h = 100 m lungo un piano inclinato di θ= 45° con un coefficiente di attrito dinamico μ_D = 0.2. Alla base del piano inclinato il punto si muove in orizzontale senza attrito, ma deve attraversare una parete spessa s = 20 cm che imprime una forza costante F = 80 N sul punto. Se l’oggetto parte da fermo, qual è il modulo della sua velocità dopo avere attraversato la parete ? Quanto tempo impiega ad attraversare la parete ?

Il problema può essere risolto applicando il Principio di Conservazione dell'Energia che è:

$ΔE = W_{nc}$

In questo caso sono due i contributi del lavoro non conservativo: l'attrito sul piano inclinato e la forza costante dovuta alla parete spessa.

$W_{nc} = - F_{d} \cdot \frac{h}{\sin θ} - F \cdot s = - µ_{D} \cdot mg \cdot \cos θ \cdot \frac{h}{\sin θ} - F \cdot s$

La variazione di energia meccanica è:

$ΔE = ΔU + ΔK = {- U}_{i} + K_{f} = - mgh + \frac{1}{2} m v^{2}$

Da cui, eguagliando, si trova la velocità:

$- mgh + \frac{1}{2} m v^{2} = - µ_{D} \cdot mg \cdot \cos θ \cdot \frac{h}{\sin θ} - F \cdot s \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2}{m} (mgh - µ_{D} \cdot mg \cdot h \cdot \cot θ - F \cdot s)} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 100 - 2 \cdot 0.2 \cdot 9.8 \cdot 100 \cdot \cot 45 ° - 2 \cdot \frac{80}{0.05} \cdot 0.2} \approx 30.5$ m/s

Per sapere il tempo occorre coinvolgere la cinematica.

Calcoliamo la velocità iniziale (prima di attraversare la parete):

$v_{i} = \sqrt{v_{f}^{2} - 2 a \cdot s} = \sqrt{928 + 2 \cdot \frac{80}{0.05} \cdot 0.2} \approx 39.6$ m/s

e poi il tempo:

$Δt = \frac{v_{f} - v_{i}}{a} = \frac{30.5 - 39.6}{- \frac{80}{0.05}} \approx 5.7$ ms