N°10 MECCANICA DEL PUNTO


Una cometa viaggia ad una velocità di modulo v₀ = 10⁴ m/s e la cui direzione forma un angolo θ = 10° rispetto alla congiungente con il Sole (di massa m_Sole = 2∙10³⁰ kg e raggio R_Sole = 7∙10⁸ m) quando la cometa si trova ad una distanza d₀ = 10¹² m da esso. Calcolare la distanza minima alla quale la cometa passa dal Sole e con quale velocità.

Il momento angolare alla distanza d₀ è: $L = m v_{0} d_{0} \sin θ$ ed è costante nel moto sotto l'azione di forze centrali.

Quindi alla minima distanza: $m v_{0} d_{0} \sin θ = m v_{max} d_{min}$ perchè alla minima distanza (perielio) la velocità è massima e tangente alla traiettoria.

L'energia meccanica è costante:

$\frac{1}{2} m v_{max}^{2} - \frac{GmM}{d_{min}} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{GmM}{d_{0}}$

Si ottengono due equazioni a due incognite da cui si possono ricavare minima distanza e corrispondente velocità:

$v_{max} = v_{0} \cdot \frac{d_{0} \sin θ}{d_{min}} \Rightarrow \frac{1}{2} m {(v_{0} \cdot \frac{d_{0} \sin θ}{d_{min}})}^{2} - \frac{GmM}{d_{min}} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{GmM}{d_{0}} \Rightarrow v_{0}^{2} \cdot \frac{d_{0}^{2} \sin^{2} θ}{d_{min}^{2}} - 2 \frac{GM}{d_{min}} = v_{0}^{2} - 2 \frac{GM}{d_{0}} \Rightarrow$

$\Rightarrow (2 \frac{GM}{d_{0}} - v_{0}^{2}) d_{min}^{2} + v_{0}^{2} \cdot d_{0}^{2} \sin^{2} θ - 2 {GM \cdot d}_{min} = 0 \Rightarrow 1.668 \cdot 10^{8} d_{min}^{2} - 2.668 \cdot 10^{20} d_{min} + 3.015 \cdot 10^{30} = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow d_{min}^{2} - 1.5995 \cdot 10^{12} d_{min} + 1.8076 \cdot 10^{22} = 0 \Rightarrow d_{min} = \frac{1.5995 \cdot 10^{12} - \sqrt{2.5584 \cdot 10^{24} - 7.2301 \cdot 10^{22}}}{2} ≃ 0.79975 \cdot 10^{12} - 0.78837 \cdot 10^{12} ≃ 11382 \cdot 10^{3}$ m= 11382 km