N°1 MECCANICA DEL PUNTO


Un proiettile di massa m = 10 g urta (urto totalmente anelastico) un blocco di massa M = 300 g. Il blocco è attaccato ad una molla, inizialmente a riposo, di costante elastica k = 50 N/m. Il blocco e la molla sono disposti orizzontalmente, come mostrato in figura, sopra un piano orizzontale con attrito (µ_d = 0.60). In seguito all'urto, la molla viene compressa di una distanza d = 4 cm. Determinare la velocità del proiettile un istante prima dell'urto con il blocco.

Applichiamo il Principio di Conservazione dell'Energia per ricavare la velocità blocco-proiettile subito dopo l'urto:

$ΔΕ = W_{nc} \Rightarrow E_{f} - E_{i} = - F_{d} \cdot d \Rightarrow U_{f} + K_{f} - (U_{i} + K_{i}) = - F_{d} \cdot d$

In questo caso $U_{i} = 0$ (la molla è inzialmente a riposo), $U_{f} = \frac{1}{2} k \cdot d^{2}$ (la molla è compressa di una distanza d), $K_{i} = \frac{1}{2} (m + M) v_{i}^{2}$ (energia cinetica subito dopo l'urto) e $K_{f} = 0$ (energia cinetica alla fine della compressione). Inoltre $F_{d} = µ \cdot (m + M) \cdot g$

Da cui, sostituendo:

$\frac{1}{2} k \cdot d^{2} - \frac{1}{2} (m + M) v_{i}^{2} = - µ \cdot (m + M) g \cdot d \Rightarrow \frac{1}{2} (m + M) v_{i}^{2} = \frac{1}{2} k \cdot d^{2} + µ (m + M) g \cdot d \Rightarrow v_{i} = \sqrt{\frac{k d^{2}}{m + M} + 2 µ g \cdot d}$

Applicando il Principio di Conservazione della Quantità di Moto si ricava la velocità del proiettile un istante prima dell'urto:

$m V = (m + M) v_{i} \Rightarrow V = \frac{m + M}{m} \cdot \sqrt{\frac{k d^{2}}{m + M} + 2 µ g \cdot d} = \frac{310}{10} \cdot \sqrt{\frac{50 \cdot 0.04 ²}{0.31} + 2 \cdot 0.6 \cdot 9.8 \cdot 0.04} \approx 26.5$ m/s