N° 13 Termodinamica

Il lavoro nell'isobara A→B è : L_AB = P_AB·(V_BC - V_A). Nella seconda isobara C→D è : L_CD = P_CD·(V_D - V_BC). Nell'isoterma D→A è : $L_{DA} = n \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac{V_{A}}{V_{D}}$

La temperatura dell'isoterma T può essere espressa con l'equazione dei gas ideali: $T = \frac{P_{AB} V_{A}}{nR}$ .

Sostituendo in L_DA: $L_{DA} = P_{AB} \cdot V_{A} \cdot \ln \frac{V_{A}}{V_{D}}$ .

Inoltre P_CD può essere espressa in funzione di P_AB utilizzando l'equazione delle isoterme: $P_{CD} = \frac{P_{AB} V_{A}}{V_{D}}$

Ora si possono sommare i lavori e imporre la somma uguale a zero (si vede subito che la pressione P_AB può essere eliminata dal conto):

$L_{AB} + L_{CD} + L_{DA} = 0 \to P_{AB} \cdot (V_{BC} - V_{A}) + \frac{P_{AB} V_{A}}{V_{D}} \cdot (V_{D} - V_{BC}) + P_{AB} \cdot V_{A} \cdot \ln \frac{V_{A}}{V_{D}} = 0$ →

$V_{BC} - V_{A} + \frac{V_{A}}{V_{D}} \cdot (V_{D} - V_{BC}) + V_{A} \cdot \ln \frac{V_{A}}{V_{D}} = 0$

Sostituendo i valori noti dei volumi: $V_{BC} - 1 + \frac{1}{5} \cdot (5 - V_{BC}) + 1 \cdot \ln \frac{1}{5} = 0 \to V_{BC} - \frac{V_{BC}}{5} - \ln 5 = 0$ → $V_{BC} = \frac{5 \cdot \ln 5}{4} = 2$ l

La variazione complessiva di entropia lungo le isobare: $Δ S_{1} = n {\cdot c}_{v} \cdot \ln \frac{T_{B}}{T} + nR \cdot \ln \frac{V_{BC}}{V_{A}} + n \cdot c_{v} \cdot \ln \frac{T}{T_{C}} + nR \cdot \ln \frac{V_{D}}{V_{BC}}$ .

Non si conoscono le temperature ed è necessario esprimere i rapporti tra le temperature con l'equazione dei gas ideali: $\frac{T_{B}}{T} = \frac{P_{AB} V_{BC}}{P_{AB} V_{A}} = \frac{2}{1} = 2$ e $\frac{T}{T_{C}} = \frac{P_{CD} V_{D}}{P_{CD} V_{BC}} = \frac{5}{2}$

Da cui: $Δ S_{1} = n {\cdot c}_{v} \cdot \ln \frac{T_{B}}{T} + nR \cdot \ln \frac{V_{BC}}{V_{A}} + n \cdot c_{v} \cdot \ln \frac{T}{T_{C}} + nR \cdot \ln \frac{V_{D}}{V_{BC}} = n {\cdot c}_{v} \cdot \ln 2 + nR \cdot \ln 2 + n \cdot c_{v} \cdot \ln \frac{5}{2} + nR \cdot \ln \frac{5}{2} = (n \cdot c_{v} + n \cdot R) \cdot (\ln 2 + \ln \frac{5}{2}) = (n \cdot c_{v} + nR) \cdot \ln 5$

La variazione di entropia lungo l'isovolumica è: $Δ S_{2} = n \cdot c_{v} \cdot \ln \frac{T_{C}}{T_{B}} = n \cdot c_{v} \cdot \ln (\frac{T_{C}}{T} \cdot \frac{T}{T_{B}}) = n \cdot c_{v} \cdot \ln (\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}) = n \cdot c_{v} \cdot \ln \frac{1}{5} = - n \cdot c_{v} \ln 5$

Il rapporto richiesto: $r = \frac{Δ S_{1}}{Δ S_{2}} = \frac{(c_{v} + R) \cdot \ln 5}{- c_{v} \ln 5} = - \frac{c_{p}}{c_{v}} = - γ = - \frac{7}{5} = - 1.4$