N° 10 Termodinamica

L = - n c_{v} ▵ T \to ▵ T = - \frac{L}{n c_{v}} \to T_{1} = T_{0} - \frac{L}{n c_{v}} = 290 - \frac{- 12700}{2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.314} = 800 ° K

La temperatura di equilibrio del successiva trasformazione di equilibrio termico si ricava imponendo Q_ass + Q_ced = 0 , da cui:

n_{H_{2}} c_{V H_{2}} (T_{e} - T_{0}) + n_{H e} c_{V H e} (T_{e} - T_{1}) = 0 \to T_{e} = \frac{n_{H_{2}} c_{V H_{2}} T_{0} + n_{H e} c_{V H e} T_{1}}{n_{H_{2}} c_{V H_{2}} + n_{H e} c_{V H e}} = \frac{1 \cdot \frac{5}{2} R \cdot 290 + 2 \cdot \frac{3}{2} R \cdot 800}{1 \cdot \frac{5}{2} R + 2 \cdot \frac{3}{2} R} = \frac{5 \cdot 290 + 6 \cdot 800}{5 + 6} = 568 ° K

La trasformazione che riporta il volume al valore iniziale è reversibile ma non si può considerarla adiabatica solo per l'elio perchè l'elio è in contatto termico con l'idrogeno. Per calcolare la temperatura di equilibrio si può invece applicare il principio di aumento dell'entropia per il sistema isolato costituito da elio ed idrogeno:

n_{H e} R \cdot l n (\frac{V}{V_{e}}) + n_{H e} c_{V H e} l n (\frac{T_{2}}{T_{e}}) + n_{H_{2}} c_{V H_{2}} l n (\frac{T_{2}}{T_{e}}) = 0

La trasformazione è reversibile e l'entropia non varia.
Sostituendo le grandezze conosciute si ricava la temperatura finale:

2 \cdot 8.314 \cdot l n (\frac{20}{5}) + 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.314 l n (\frac{T_{2}}{568}) + 1 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8.314 l n (\frac{T_{2}}{568}) = 0 \to 5.5 l n T_{2} = 32.1 \to T = 343 ° K

La variazione di entropia dell'Universo si può trovare considerando che i gas alla fine occupano lo stesso volume iniziale ma con diversa temperatura.